技巧

已知 $f(x) = ax^2+bx(a,b\in R \setminus \{0\})$ 存在一个虚数 $x$，使得 $f(x_1)$ 为实数 $-c,$ 则 $b^2-4ac$ 与 $(2ax_1 + b)^2$ 的关系是？

$$(2ax_1 + b)^2 = 4a(ax_1^2+bx_1)+b^2$$

考虑凑出一个 $4ac$ 出来，所以在括号里面添加一只 $c$ ，为了平衡在外面减掉一个 $4ac.$

$$4a(ax_1^2+bx_1)+b^2=4(ax_1^2 + bx_1 -c) +b^2 - 4ac$$

可以看出括号里面内容可以成功抵消，最后得到 $b^2-4ac.$

这样两边就相等了。

轨迹

为了方便理解轨迹，放一个这个题。

已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $a^2+(4+i)a+2xy+(x-y)i=0$，则点 $(x,y)$ 的轨迹是？

经过带入消元的化简，最后可以得到

$$(x-2)^2 + (x+2)^2 =8$$

迎刃而解。