章节 2

定理 1

介绍一个 $i$ 定义的推论： $z\overline{z} = |z|^2$ 至于证明可以自己拆开理解理解。

定理 2

虚数成对定理。

如果方程有一个虚根 $z$ ，那么它同样会有一个根 $\overline{z}.$

要求方程是实系数方程。

定理 3

$k^3 = p$ ，则 $k$ 的取值均在以原点为圆心的同一圆周上。

并且形成正三角形。

目前不会证明。

定理 4

$\sin ^2 x + \sin ^2 y = 1$

可以通过三角函数的定义用勾股定理证明。在这里就不写了。

等式的性质：等式两边同取共轭等式依然成立。

符号： $a=b \iff \overline{a}=\overline{b}$。证明略。

数值 1

$\sin 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

习题 2

已知 $|z| = 1, z^{11} + z = 1 $ ，求复数 $z.$

解：设 $z=\cos \theta + i \sin \theta,$

原式可化为 $(\cos \theta + i \sin \theta)^{11}+\cos \theta + i\sin \theta =1$

$$\{\cos (11 \theta) + \cos \theta -1 + [\sin (11\theta) + \sin \theta]i\} $$

笔者注：Abraham de Moivre 定理推论化简

$$\therefore \begin{cases} \cos (11\theta) = 1-\cos \theta \\ \sin (11\theta) = -\sin \theta \end{cases}$$

两式平方相加，得

$$1=(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta$$

展开化简，得 $1=-2\cos \theta$

$\therefore \cos \theta = \dfrac{1}{2},\sin^2 \theta = \dfrac{3}{4}$

$\therefore z= \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

技巧

已知 $f(x) = ax^2+bx(a,b\in R \setminus \{0\})$ 存在一个虚数 $x$，使得 $f(x_1)$ 为实数 $-c,$ 则 $b^2-4ac$ 与 $(2ax_1 + b)^2$ 的关系是？

$$(2ax_1 + b)^2 = 4a(ax_1^2+bx_1)+b^2$$

考虑凑出一个 $4ac$ 出来，所以在括号里面添加一只 $c$ ，为了平衡在外面减掉一个 $4ac.$

$$4a(ax_1^2+bx_1)+b^2=4(ax_1^2 + bx_1 -c) +b^2 - 4ac$$

可以看出括号里面内容可以成功抵消，最后得到 $b^2-4ac.$

这样两边就相等了。

轨迹

为了方便理解轨迹，放一个这个题。

已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $a^2+(4+i)a+2xy+(x-y)i=0$，则点 $(x,y)$ 的轨迹是？

经过带入消元的化简，最后可以得到

$$(x-2)^2 + (x+2)^2 =8$$

迎刃而解。

【圆周角定理】

看下面的图片。

定理是在圆周上的任意一点 $C$ 满足 $\angle AOB = 2\angle ACB.$

为什么呢？首先考虑线段 $AC ,BC$ 与 $AO,BO$ 两两之间没有交点的情况。

作 $CO$ 的延长线。

由外角定理，$\beta = \alpha + \gamma.$ 而 $OA=OC =R,$

$\therefore \alpha = \gamma,$

$\therefore \beta = 2\gamma.$

另外两种情况同理。请读者自己证明，不是笔者懒惰。

【圆周角定理的推论】

过圆心的直线，它与圆相交两点，这两点与圆上的一点所形成的角一定是直角。

将上面的 $\angle AOB = 180^{\circ}$ 也就是平角带入进去就好了。这一点在下面证明正弦定理的时候同样有效。

【正弦定理】

那么有我来证明一下正弦定理吧。

已知：对于 $\triangle ABC,$ $a,b,c$ 分别为 $\angle A ,\angle B ,\angle C$ 的对边。 $R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径。

求证：有 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R.$

如图所示：

由于 $A'B$ 经过圆心，所以 $\angle A'CB = 90^{\circ}.$

显然，$2R=A'B.$

$\therefore$ $a'=2R \sin A$

原式可化为 $\dfrac{2R \sin A}{\sin A}=2R$ ，由于三角形 $\triangle ABC$ 中 $\sin A \not = 0,$

$\therefore$ 原式两边同除以 $\sin A.$

$2R=2R$ 显然成立。

命题得证。

$r(\cos \theta + i \sin \theta).$

$r$ 是模长。

你可以在纸上画一画， $r \cos \theta = a, r \sin \theta = b$，代入原式之后逆用乘法分配律发现两个式子实际上是等价的。

张鹏运曾经问我：

$\cos 2 \pi + i \sin 2 \pi = 1.$ 这是为什么呢？

证明：

$\because \cos 2 \pi =1, i \sin 2 \pi =0 , $

$\therefore 原式 = 1 + 0 = 1.$

$solved.$

这样我们又多了一条结论呢。

如果简单来说的话，三角形式就是这样简单。但是后来会发挥出极大的作用。

前言

由于可爱的笔者对于三角函数的认知相当扭曲，所以在这里并不会提到任何初中数学的三角函数定义。

笔者对于三角函数的理解以及定义均基于高中数学对三角函数的理解。

还有一些比较有意思的复数定义，但是也许并不标准吧。

如果笔者书写有错误欢迎指证。然而没有任何奖励。也许可以和可爱的笔者培养感情吧。

由于这个笔者比较诡异并且自作多情，所以他的证明语言完全没有半点参考价值。

后面的符号有可能正体斜体不分。请读者自我反思（）

由于笔者的 $Geogebra$ 版本老掉牙，所以读者看不习惯也是人之常情。但是笔者依然不准备更新。

正文

弧度制

弧长等于半径长的圆弧所对应的圆心角叫做 $1$ 弧度的角。用符号 $\texttt{rad}$ 表示，读作弧度。

那么我们来思考思考吧。

如果说半径长为 $1$ ，周长 $C=\pi d = 2\pi$，则 $1\texttt{rad} = \dfrac{360}{2\pi} \texttt{deg}$ ，$\texttt{deg}$ 是角度的意思。

化简一下，得到 $1\texttt{rad} = \dfrac{180}{\pi} \texttt{deg}$

三角函数的定义

首先我们需要平面直角坐标系的原点作圆心，半径为 $1$ 的圆作为工具定义。

观察下面这个圆。

在 $x$ 轴的正半轴与垂线的交点设为 $P=(x,y)$，正半轴与终边的夹角设为 $\alpha.$

那么定义 $\sin \alpha = y, \cos \alpha = x \tan \alpha = \dfrac{y}{x}.$

当然，真正的高中数学教材的定义比这个好上千百倍。但是我就先这样开个头吧。

正弦定理

对于 $\triangle ABC,$ $a,b,c$ 分别为 $\angle A ,\angle B ,\angle C$ 的对边。 $R$ 为 $\triangle ABC$ 的外接圆半径，则有 $\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}=2R.$ 现在笔者并没有证明。

向量

在线性空间中有大小也有方向的量。

如果你想好好学线性代数，你可以从这里开始。见：官方双语 · 线性代数的本质。

可以认为，向量是条带有方向的线段。

【表示方法】

向量的起点是 $A$ 终点是 $B$ ，则这个向量记作 $\overrightarrow{AB}.$ 当然，你在特定情况下也可以记为 $\overrightarrow{a}$，a。

我们记两个向量的夹角为 $ < a , b > $

复数

定义：

方程 $x^2 = -1$ 的解为虚数单位 $\sqrt{-1}=i$。下面我都不会用斜体。请多照顾照顾照顾这只可爱的笔者吧。

一个复数 $z \in \mathbb{C}$ 可以如下表示：

1. 代数形式： $a+bi ( a,b \in \mathbb{R} )$ ，其中 $a$ 称为实部， $b$ 为虚部。

2. 三角形式：$r(\cos \theta + i \sin \theta)$ ， 其中 $r$ 是模长，也就是 $(a,b)$ 到复平面上原点的距离。 $\theta = \arg z$ 是终边 $(0,0-(a,b)$ 的角。（即该边与正半轴的角）