章节 2

定理 1

介绍一个 $i$ 定义的推论： $z\overline{z} = |z|^2$ 至于证明可以自己拆开理解理解。

定理 2

虚数成对定理。

如果方程有一个虚根 $z$ ，那么它同样会有一个根 $\overline{z}.$

要求方程是实系数方程。

定理 3

$k^3 = p$ ，则 $k$ 的取值均在以原点为圆心的同一圆周上。

并且形成正三角形。

目前不会证明。

定理 4

$\sin ^2 x + \sin ^2 y = 1$

可以通过三角函数的定义用勾股定理证明。在这里就不写了。

等式的性质：等式两边同取共轭等式依然成立。

符号： $a=b \iff \overline{a}=\overline{b}$。证明略。

数值 1

$\sin 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

习题 2

已知 $|z| = 1, z^{11} + z = 1 $ ，求复数 $z.$

解：设 $z=\cos \theta + i \sin \theta,$

原式可化为 $(\cos \theta + i \sin \theta)^{11}+\cos \theta + i\sin \theta =1$

$$\{\cos (11 \theta) + \cos \theta -1 + [\sin (11\theta) + \sin \theta]i\} $$

笔者注：Abraham de Moivre 定理推论化简

$$\therefore \begin{cases} \cos (11\theta) = 1-\cos \theta \\ \sin (11\theta) = -\sin \theta \end{cases}$$

两式平方相加，得

$$1=(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta$$

展开化简，得 $1=-2\cos \theta$

$\therefore \cos \theta = \dfrac{1}{2},\sin^2 \theta = \dfrac{3}{4}$

$\therefore z= \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$