章节 2
定理 1
介绍一个 $i$ 定义的推论: $z\overline{z} = |z|^2$ 至于证明可以自己拆开理解理解。
定理 2
虚数成对定理。
如果方程有一个虚根 $z$ ,那么它同样会有一个根 $\overline{z}.$
要求方程是实系数方程。
定理 3
$k^3 = p$ ,则 $k$ 的取值均在以原点为圆心的同一圆周上。
并且形成正三角形。
目前不会证明。
定理 4
$\sin ^2 x + \sin ^2 y = 1$
可以通过三角函数的定义用勾股定理证明。在这里就不写了。
等式的性质:等式两边同取共轭等式依然成立。
符号: $a=b \iff \overline{a}=\overline{b}$。证明略。
数值 1
$\sin 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
习题 2
已知 $|z| = 1, z^{11} + z = 1 $ ,求复数 $z.$
解:设 $z=\cos \theta + i \sin \theta,$
原式可化为 $(\cos \theta + i \sin \theta)^{11}+\cos \theta + i\sin \theta =1$
$$\{\cos (11 \theta) + \cos \theta -1 + [\sin (11\theta) + \sin \theta]i\} $$
笔者注:Abraham de Moivre 定理推论化简
$$\therefore \begin{cases} \cos (11\theta) = 1-\cos \theta \\ \sin (11\theta) = -\sin \theta \end{cases}$$
两式平方相加,得
$$1=(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta$$
展开化简,得 $1=-2\cos \theta$
$\therefore \cos \theta = \dfrac{1}{2},\sin^2 \theta = \dfrac{3}{4}$
$\therefore z= \dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$